W dniach 9-11 maja 2014 roku odbyła się pierwsza edycja Konferencji Oblicze. Konferencję zorganizowali studenci dwóch największych uczelni w Poznaniu – Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza i Politechniki Poznańskiej. Organizatorem konferencji było Koło Naukowe Matematyków UAM.

W przygotowanie konferencji zaangażowane były w szczególności następujące osoby:

• Dominika Kubijk
• Karolina Rogusz
• Paweł Rogalski
• Katarzyna Taczała
• Bazyli Klockiewicz
• Jędrzej Garnek
• Tomasz Dwojak
• Kamil Sikorski

Podczas konferencji wysłuchać było można 2 wykładów oraz 15 referatów, a także wziąć udział w sesji plakatowej. Pod koniec konferencji uczestnicy wybrali autorów najlepszych referatów i plakatów, którzy otrzymali nagrody ufundowane przez PWN.

Najlepsze referaty:

I miejsce – Mariusz Tobolski (UW) “Idea rozmaitości różniczkowej”
II miejsce – Justyna Tabor (UAM) “Grafy losowe a sieci społecznościowe”
III miejsce – Małgorzata Grzyb (UŁ) “Rozmaitości na temat rozmaitości”

Najlepsze plakaty:

I miejsce – Hanna Loch (PWr) “Macierze Losowe”
II miejsce –
Monika Grzeżułkowska (AP Słupsk) “Niewielkie zmiany cen”
oraz
Katarzyna Taczała i Dominika Kubijk (UAM) “O optymalnym zatrudnieniu”
III miejsce – Małgorzata Grzyb (UŁ) “Twierdzenie o przyjaźni”

Dziękujemy wszystkim i do zobaczenia za rok!

Harmonogram

Zwracamy uwagę, że ze względu na dużą ilość referatów, część z nich będzie odbywała się równolegle w salach A1-33 oraz w Auli C.

Sobota 10.05.
09:00 – 10:00	Karolina Rogusz – „Model ryzyka indywidualnego oraz model ryzyka kolektywnego w matematyce ubezpieczeniowej”	(Aula C)
10:00 – 10:45	Krzysztof Buczyński „Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N – osobowych”	(Aula C)
	Justyna Tabor – „Grafy losowe a sieci społecznościowe”	(A1-33)
10:45 – 11:45	Maksymilian Wojewoda – „Nieliniowe modele dyfuzji w przetwarzaniu sygnałów dwuwymiarowych”	(Aula C)
	Taduesz Chawziuk – Matematyka a filozofia: spróbujmy uporządkować wiedzę	(A1-33)
11:45 – 12:15	Przerwa kawowa	(Klub Profesorski)
12:15 – 13:00	Bartosz Bieganowski – „O uzupełnianiu przestrzeni na potrzeby równań różniczkowych”	(Aula C)
13:00 – 14:00	Obiad
14:00 – 15:15	Mariusz Tobolski – „Idea rozmaitości różniczkowej”	(Aula C)
14:15 – 16:15	Sesja plakatowa: – Hanna Loch – „Macierze losowe” – Monika Grzeżułkowska – „Niewielkie zmiany cen” – Małgorzata Grzyb – „Twierdzenie o przyjaźni”, „Twierdzenia o istnieniu Równowagi Nasha” -Paweł Rogalski – „Twierdzenia o małżeństwach” -Katarzyna Taczała i Dominika Kubijk – „O optymalnym zatrudnieniu”
16:15 – 17:30	Paweł Budzianowski, Jacek Babiński – „Analiza zależności za pomocą kopuli oraz jej zastosowania ”	(Aula C)
17:30 – 17:45	Przerwa kawowa	(Klub Profesorski)
17:45 – 19:00	Małgorzata Grzyb – „Rozmaitości na temat rozmaitości”	(Aula C)
	Jędrzej Garnek – „Zrób to sam – fraktale”	(A1-33)
ok. 20:00	Spotkanie integracyjne

Niedziela 11.05.
09:30 – 10:45	Bartosz Bieganowski – „O sposobach badania funkcji wypukłych”	(Aula C)
10:45 – 12:00	Mariusz Sobków – „Testowanie hipotez statystycznych i modelowanie matematyczne”	(Aula C)
12:00 – 12:15	Przerwa kawowa	(Klub Profesorski)
12:15 – 13:00	Kamil Sikorski – „Sposoby rozwiązywania wybranych równań różniczowych”	(Aula C)
	Piotr Mizerka – „Wybrane algorytmy grafowe”	(A1-33)
13:00 – 13:15	Przerwa
13:15 – 14:15	Łukasz Nizio – „Twierdzenie Polyi o zliczaniu”	(Aula C)
14:15 – 15:00	Obiad
15:00 – 15:30	Zakończenie konferencji	(Aula C)

Partnerzy i sponsorzy pierwszej edycji:

Patronat:

Patronat honorowy:

• Prezydent Miasta Poznania,
• Parlament Studentów Rzeczypospolitej Polskiej (psrp.org.pl)
• Polskie Towarzystwo Matematyczne (ptm.org.pl)

Patronat medialny:

• Delta – czasopismo popularnonaukowe Uniwersytetu Warszawskiego (deltami.edu.pl)
• strona internetowa unikonferencje.pl
• strona internetowa dlaStudenta.pl
• strona internetowa academio.pl
• strona internetowa naukowiec.org

Abstrakty i materiały

Sfery jako H-przestrzenie a odwzorowania Hopfa
Profesor Krzysztof Pawałowski (UAM)

W 1931 roku jeden z czołowych topologów XX wieku, matematyk niemiecki,
Heinz Hopf (1894-1971), opisał odwzorowanie, które dziś nosi jego nazwisko.
To odwzorowanie prowadzi do ważnego przykładu pojęcia wiązki włóknistej,
czy ogólniej rozwłóknienia, należących do podstawowych koncepcji topologii współczesnej. Odwzorowanie Hopfa przekształca w sposób ciągły sferę
3-wymiarową na sferę 2-wymiarową, dzieląc sferę 3-wymiarową na rozłączne części, włókna, wszystkie homeomorficzne ze sferą 1-wymiarową (okręgiem).
Ogólniej mówiąc, dla n = 0, 1, 3, 7, istnieje odwzorowanie (zwane odwzorowaniem Hopfa) ze sfery (2n+1)-wymiarowej na sferę (n+1)-wymiarową, którego włókna są homeomorficzne ze sferą n-wymiarową, a nad zbiorami otwartymi pokrywającymi sferę (n+1)-wymiarową włókna w sumie tworzą zbiór homeomorficzny z produktem kartezjańskim zbioru otwartego i sfery n-wymiarowej, co na mocy definicji oznacza, że odwzorowanie Hopfa jest lokalnie trywialne.
Na wykładzie dowiemy się jak określić odwzorowania Hopfa, jaką rolę odgrywają one w topologii, jak powiązane są z innymi zagadnieniami, a w szczególności jak można pokazać, że wyższe grupy homotopii sfer (indeks grupy wyższy niż wymiar sfery) często bywają niezerowe. W klasycznym przypadku, odwzorowanie Hopfa wyznacza niezerowy element w trzeciej grupie homotopii sfery 2-wymiarowej. Ten wynik, Samuel Eilenberg (1913-1998), wybitny matematyk polsko-amerykański, uznał za najbardziej przełomowe odkrycie w topologii XX wieku

Matematyka przemysłowa
Doktor Rafał Witkowski i Natalia Postawa (UAM)

W czasie wykładu spróbujemy odpowiedzieć na pytanie czym jest matematyka
przemysłowa, zwana także użytkową lub z angielska “industrial mathematics”.
Zastanowimy się, dlaczego nie ma dobrej polskiej nazwy na tego typu
zagadnienia i dlaczego tak często jest to mylone z matematyką stosowaną oraz
na czym polegają różnice. Przyjrzymy się, jak zmieniała się matematyka w
czasie historii oraz gdzie jesteśmy dziś i jak w dzisiejszym świecie
matematycznym odnajdują się zastosowania matematyki np. w przemyśle.
Wreszcie przedstawimy konkretne przykłady uprawnia tego rodzaju matematyki
oraz zaprosimy do współudziału w przyszłych projektach.

Model ryzyka indywidualnego oraz model ryzyka kolektywnego w matematyce ubezpieczeniowej
Karolina Rogusz (UAM)

W referacie przedstawię przede wszystkim dwa podstawowe modele ryzyka probabilistycznego: model indywidualny oraz model kolektywny. Omówione zostaną zasadnicze różnice między tymi dwoma podejściami, probabilistyczne problemy związane z każdym z nich oraz praktyczne zastosowania w aktuariacie.

Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N – osobowych
Krzysztof Buczyński (UMK)

W referacie skupimy się na przeanalizowaniu zagadnienia teorii gier jakim są gry N-osobowe. Szczególny nacisk położony zostanie na gry parlamentarne oraz możliwość tworzenia się koalicji. Po krótkim wprowadzeniu teoretycznym przystąpimy do zbadania zastosowań tych gier i ich możliwych rozwiązań.

Grafy losowe a sieci społecznościowe
Justyna Tabor (UAM)

W referacie przedstawię klasyczny model grafów losowych Paula Erdösa i Alfrréda Rényi z 1960 roku. Porównam go do kilku nowszych modeli przybliżających internetowe sieci społecznościowe.

Nieliniowe modele dyfuzji w przetwarzaniu sygnałów dwuwymiarowych
Maksymilian Wojewoda (UO)

Referat ma za zadanie prezentacje problematyki związanej z zagadnieniem filtracji obrazów, w szczególności filtracji anizotropowej. Odpowiednie metody opierają się w ogólności na wprowadzeniu adaptacyjnego współczynnika dyfuzji do modelu liniowego.
Po krótkim wprowadzeniu, definiującym narzędzia i podstawy potrzebne do dalszych rozważań, przejdę do omówienia klasycznego modelu Perona-Malik. Następnie pokażę jego realizację w zależności od postawionych celów i przeprowadzę interpretację uzyskanych wyników. Rezultaty zaprezentuję przy użyciu programu MATLAB.

Matematyka a filozofia: spróbujmy uporządkować wiedzę
Tadeusz Hawziuk (UAM)

Celem referatu jest przedstawienie uargumentowanego poglądu na związki matematyki i filozofii. Czy filozofia może coś dać matematyce? Czy matematyka może coś dać filozofii? Czy któraś lub każda potrzebuje drugiej? A może matematyka i filozofia wzajemnie siebie nie potrzebują? W referacie zostanie odrzucone stanowisko skrajne: matematyka i filozofia są dziedzinami osobnymi i spoglądającymi na siebie obojętnie, oraz wyjaśnione oddziaływanie jednej dziedziny na drugą.
Autor jest absolwentem filozofii, który odczuł, że bez matematycznego wyćwiczenia umysłu nie jest w stanie ze swobodą podjąć pociągających go zagadnień filozoficznych. Referat można zrozumieć jako zdanie sprawy z tego, co zostało z tych oczekiwań w chwili, gdy jego studia matematyczne dobiegają końca.

O uzupełnianiu przestrzeni na potrzeby równań różniczkowych
Bartosz Bieganowski (UMK)

Często poszukujemy rozwiązań równań różniczkowych w typowych klasach funkcji, jak np. w klasie funkcji gładkich. Okazuje się jednak, że z punktu widzenia pewnej normy, z którą chcemy pracować na potrzeby konkretnego równania, ta znana dobrze przestrzeń funkcyjna nie musi być przestrzenią zupełną.
Przedstawiona zostanie procedura uzupełniania przestrzeni do przestrzeni zupełnej. Przedstawiona zostanie także pewna szczególna przestrzeń Sobolewa i pewne ciekawe z punktu widzenia równań różniczkowych cząstkowych fakty.

Idea rozmaitości różniczkowej Mariusz Tobolski (UW)

Geometria różniczkowa stanowi naturalny język ogólnej teorii względności, elektrodynamiki oraz mechaniki klasycznej, choć dziś stosuje się również w ekonometrii, statystyce czy projektowaniu wspomaganym komputerowo. U początków teorii jednym z najważniejszych zadań matematyków było stworzenie formalnej i ścisłej definicji przestrzeni, co doprowadziło do powstania idei rozmaitości różniczkowej. Celem referatu jest przedstawienie formalnej definicji rozmaitości używając podstawowych pojęć z topologii i aksjomatycznej teorii zbiorów. Zostanie również podana motywacja fizyczna dokonanych wyborów. Referat kierowany jest do studentów pierwszych lat, choć drobiazgowe podejście autora do tematu może zaciekawić również studentów znających geometrię różniczkową.

Analiza zależności za pomocą kopuli oraz jej zastosowania – Paweł Budzianowski, Jacek Babiński (UAM)

Analiza zależności w ujęciu wielowymiarowym, w przypadku odejścia od modeli eliptycznych, powoduje znaczne trudności. W naszym referacie przedstawiamy pojęcie kopuli oraz pokazujemy jak za jej pomocą jesteśmy w stanie opisać całkowitą zależność pomiędzy danymi zmiennymi. Podajemy podstawowe pojęcia, sklara oraz podstawowe rodziny kopul. Ponadto pokazujemy przykładowe zastosowanie w ekonometrii finansowej na przykładzie szacowania ryzyka obligacji zabezpieczonych długiem (tzw. CDO).

Rozmaitości na temat rozmaitości Małgorzata Grzyb (UŁ)

Zadaniem topologii jest między innymi badanie własności rozmaitych, czasem bardzo dziwacznych zbiorów. Wyróżnia się wśród nich pewna obszerna rodzina obiektów. Mają one wiele cech, czyniących je, mówiąc potocznie, “porządniejszymi” od innych. Twory te zrobiły ogromną karierę nie tylko w topologii i innych dziedzinach współczesnej matematyki, ale także w wielu dyscyplinach pozamatematycznych. Nazwano je rozmaitościami.

Zrób to sam – fraktale Jędrzej Garnek (UAM)

Gdy w 1982 r. francuski matematyk Mandlebrot wydał książkę “The Fractal Geometry of Nature”, spotkała się ona z dużą krytyką – badanie samopodobnych zbiorów uznano początkowo za pozbawione głębszego sensu. Dziś jednak trudno wyobrazić sobie grafikę komputerową bądź kompresję obrazów bez wykorzystania wynalazku Mandelbrota. Okazuje się bowiem, że w naturze “samopodobieństwo to coś powszechnego, a nie patologia”. W jaki sposób można jednak wygenerować tak skomplikowaną strukturę i zapisać ją za pomocą niewielkiej ilości danych? Postaram się odpowiedzieć na to pytanie, wykorzystując jedno z najbardziej znanych twierdzeń analizy matematycznej w dość nieoczekiwany sposób. Pokażę też, jak wygenerować swój “własny” fraktal, wykorzystując odpowiednie pakiety matematyczne.

O sposobach badania funkcji wypukłych
Bartosz Bieganowski (UMK)

Referat ma za zadanie przybliżyć własności i pewne metody badania odwzorowań wypukłych. Okazuje się, że można skonstruować pewne uogólnienie pochodnej i gradientu na funkcje wypukłe, które nie muszą być różniczkowalne. Przedstawione zostaną następujące zagadnienia: podstawowe własności zbiorów wypukłych,
podstawowe własności funkcji wypukłych, różniczkowalne funkcje wypukłe,
subróżniczka i subgradient, subróżniczka jako odwzorowanie wielowartościowe.

Testowanie hipotez statystycznych i modelowanie matematyczne
Mariusz Sobków (UO)

W swoim referacie przedstawię wybrane zagadnienia związane z testowaniem hipotez statystycznych i modelowaniem matematycznym. Tematyka będzie obejmować m. in. klasyczne podejście do problematyki, testowanie wielokrotne, a szczególnie istotną część rozważań będzie dotyczyła podejścia do problematyki w strukturach bayesowskich.
W referacie zawarte będą zarówno teoretyczne rozważania dotyczące problematyki wynikające z przeglądu istniejących już rezultatów, jak również wykonane samodzielnie symulację, mające na celu wsparcie rozważań związanych z wybraną tematyką, oraz lepszą charakterystykę wybranych metod.

Wybrane algorytmy grafowe
Piotr Mizerka (UAM)

Teoria grafów to ostatnio dość dynamicznie rozwijana dziedzina matematyki. Jej rozwojowi towarzyszy pojawianie się opartych na niej algorytmów.
W referacie omówione zostaną wybrane algorytmy grafowe. Główny nacisk położony zostanie na podejście do tych problemów. Algorytmy te mają bezpośre-
dnie zastosowania w szeregu problemów dotyczących różnych dziedzin życia – od informatyki, ekonomii po nauki przyrodnicze.

Sposoby rozwiązywania wybranych równań różniczowych
Kamil Sikorski (UAM)

Zajmując się teorią równań różniczkowych najczęstszym problemem jest po prostu znalezienie jakiegokolwiek rozwiązania danego równania. Rozważę kilka sposobów na rozwiązywanie niektórych rodzajów równań cząstkowych I i II rzędu.

Twierdzenie Polyi o zliczaniu
Łukasz Nizio (UAM)

Twierdzenie Polyi o zliczaniu służy do przeliczania różnych kolorowań m kolorami n obiektów o danej strukturze kolorów. Szczególnie przydaje się przy zliczaniu struktur chemicznych np. alkoholi z jedną grupą wodorotlenową o danej liczbie atomów węgla w cząsteczce. Lemat Burnside służy do zliczania wszystkich różnych kolorowań n obiektów m kolorami.
W trakcie prezentacji oszacuję z dołu za pomocą Lematu Burnside’a ilość różnych (w sensie izomorfizmu) grafów prostych o danej ilości wierzchołków. Postaram się również przedstawić dowody oraz inne przykłady wykorzystania tych twierdzeń.

Postery

Macierze losowe – Hanna Loch (PWr)

Macierze losowe pozwalają na wygodny opis pewnych zjawisk fizycznych, między innymi związanymi z fizyką nuklearną – jako pierwszy wprowadził je E. Wigner do modelowania widm ciężkich atomów. W swojej pracy postawił hipotezę, że odległości pomiędzy liniami w widmach liniowych ciężkich pierwiastków powinny przypominać rozstaw wartości własnych pewnej macierzy losowej. Ze strony matematycznej macierze losowe są rozszerzeniem pojęcia zmiennej losowej i wektora losowego. Ciekawym polem do badań są zagadnienia związane z wartościami własnymi, m.in. ich rozkłady, statystyki pozycyjne i zbieżności.

Niewielkie zmiany cen – Monika Grzeżułkowska (AP w Słupsku)

Jak należy rozumieć pojęcie niewielkiej zmiany ceny? Jak wobec tego kształtuje się elastyczność cenowa popytu? Czym różnią się elastyczność punktowa i łukowa i kiedy należy je stosować? Jakie czynniki wpływają na elastyczność popytu? Jaka jest relacja pomiędzy tymi czynnikami, a także jakie można zaobserwować odstępstwa.

Twierdzenie o przyjaźni – Małgorzata Grzyb (UŁ)

Przypuśćmy, że w pewnej grupie ludzi każda para przyjaciół ma dokładnie jednego wspólnego przyjaciela. Wtedy z pewnością istnieje osoba tzw. polityk, która jest przyjacielem wszystkich. Sformułowanie to zapisane w języku stosunków międzyludzkich przełożymy na język teorii grafów i udowodnimy przy wykorzystaniu prostych twierdzeń z algebry liniowej i kombinatoryki.

Twierdzenia o istnieniu Równowagi Nasha – Małgorzata Grzyb (UŁ)

Teorię gier (TG) można scharakteryzować jako naukę o strategicznym działaniu w warunkach konfliktu i kooperacji. Jest zbiorem rozważań stosowalnych przez podmioty w sytuacjach strategicznych. Jest narzędziem ułatwiającym zrozumienie zjawisk i interakcji zachodzących między ludźmi i innymi podmiotami. Opisuje formalnie sytuacje, w których podmioty współzawodniczą lub współpracują. Obecnie TG jest stosowana w wielu dyscyplinach nauki, od biologii po nauki polityczne. Równowaga Nasha (RN) jest centralnym pojęciem teorii gier strategicznych. Zaprezentuję twierdzenia o istnieniu Równowagi Nasha.

Twierdzenia o małżeństwach – Paweł Rogalski (PP)

Wiele codziennych zjawisk matematyka stara się przełożyć na swój język. Tak samo stało się z kwestią poszukiwania partnera wśród znajomych. Teoria grafów odnalazła się w tym znakomicie. Problem ten rozwiązał w 1935 roku Philip Hall. Zostaną przedstawione różne sformułowania twierdzenia służące różnym celom, a wywodzące się z tego codziennego problemu.

O optymalnym zatrudnieniu – Katarzyna Taczała i Dominika Kubijk (UAM)

Na plakacie zaprezentowany jest model matematyczny problemu szeregowania zadań związany z optymalizacją poziomu zatrudnienia pracowników bezpośrednio produkcyjnych w warunkach różnej sezonowości oraz ograniczeń wynikających z kodeksu pracy obowiązującego w Polsce na sierpień 2013 r. Funkcją celu jest funkcja minimalizująca koszt przy spełnieniu licznych założeń związanych z prawem pracy oraz koniecznością zaspokojenia zapotrzebowania na dany produkt. Opracowany model oraz funkcja zostały zastosowane w jednej z dużych poznańskich firm produkcyjnych.