Aproksymacja rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych z nieregularnymi współczynnikami dryfu

Stochastyczne równania różniczkowe od lat odgrywają kluczową role w wielu dziedzinach. Ich istotne znaczenie można dostrzec w problemach matematyki finansowej, takich jak wycena opcji czy modelowanie rynku oraz zjawisk przyrodniczych i przemian zachodzących w otaczającej nas rzeczywistości. Rozpatrywane równania, niejednokrotnie opisujące skomplikowane modele, zazwyczaj nie posiadają rozwiązań w postaci jawnej. Z tego względu potrzebujemy narzędzi, które będą jak najlepiej aproksymować trajektorie nieznanych rozwiązań.

Celem referatu jest przedstawienie dwóch schematów – randomizowanego algorytmu Milsteina oraz randomizowanego algorytmu Milsteina w wersji nie używającej wartości pochodnych cząstkowych współczynnika dyfuzji \(g^r\) – które aproksymują rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych z nieregularnymi współczynnikami dryfu postaci
\(\)
\begin{cases}
dX(t) = f(t, X(t))dt + \sum_{r=1}^{m} g^r(t,X(t))dW^{r}(t), \;\;\; t\in [0,T], \\
X(0) = X_{0}.
\end{cases}\(\)
Pokazane zostaną eksperymenty numeryczne oraz zgodność, zbieżność i bistabilność obu algorytmów. Wyniki dla randomizowanego schematu Milsteina zaczerpnięte są z artykułu “A randomized Milstein method for stochastic differential equations with non-differentiable drift coefficients” autorstwa Kruse R., Wu Y., natomiast wyniki dla randomizowanego algorytmu Milsteina w wersji nie używającej wartości pochodnych cząstkowych współczynnika dyfuzji \(g^r\) są wynikami autorskimi, przedstawionymi w pracy magisterskiej, której promotorem był dr hab. Paweł Przybyłowicz, prof. AGH.