Liczba reprodukcyjna w modelach epidemiologicznych, czyli dlaczego nie możemy się teraz spotykać.

W ostatnim roku życie na całym świecie zmieniło się diametralnie. Epidemia Covid-19 opanowała całą kule ziemską.
Celem referatu jest przybliżenie epidemiologicznych modeli matematycznych. Zaczynając od wprowadzenia podstawowych definicji związanych z tematem, przejdziemy do pokazania budowy modelu SEIR, który często pokazywany przez media przybliża obecną sytuację w kraju i na świecie. Model jest postaci
\begin{gather*}
\left\{ \begin{array}{ll}
S’= \pi – \mu S – \beta SI , & \textrm{}\\
E’= \beta SI – (\mu – \kappa)E & \textrm{}\\
I’= \kappa E – (\mu – \alpha)I & \textrm{}\\
R’= \alpha I – \mu R & \textrm{}\\
\end{array} \right.
\end{gather*}.
Składa się z czterech równań różniczkowych, gdzie każde równanie jest różniczkowane po zmiennej niezależnej \(t\), która oznacza czas.

Przeprowadzona zostanie krótka analiza podanego model epidemiologicznego, która pomoże w rozwinięciu dalszej tematyki referatu. Mianowicie zostanie przedstawiony sposób na wyznaczenie współczynnika reprodukcji dla modeli matematycznych złożonych z równań różniczkowych zaproponowany przez dwóch matematyków Pauline van den Driessche i James Watmoutgh w 2002 roku. Po pierwsze zostanie sprawdzone, czy model SEIR spełnia wszystkie założenia potrzebne do skorzystania z zaproponowanej metody.

Kolejnym etapem będzie wyznaczenie liczby
\begin{gather*}
R_{0}= \frac{\beta \kappa \pi}{\mu(\mu + \kappa)(\mu+\alpha)}
\end{gather*}
dzięki wyznaczeniu macierzy następnego pokolenia. Podczas tego etapu skorzystamy z takich narzędzi matematycznych jak macierze Jacobiego, odwracalność macierzy czy mnożenie macierzy kwadratowych. Te nietrudne przekształcenia pozwolą na zgłębienie techniki jakim jest analiza epidemiologicznego modelu matematycznego pod kątem rozwoju epidemii i jej dynamiki. Na koniec referatu zostaną przestawione wykresy opracowane w programie Maple, które mają przybliżyć intuicję związaną z wpływem na liczbę \(R_{0}\) współczynników budujących model takich jak prawdopodobieństwo zakażenia lub długość trwania choroby.