O przedstawieniach jedynki w postaci sumy różnych ułamków egipskich

Błażej Żmija , Łukasz Merta (UJ)

W czasie referatu przedstawimy różne typy przedstawień liczby \(1\) w postaci sumy ułamków egipskich, czyli ułamków, których licznik jest równy \(1\), a mianownik jest liczbą naturalną. W szczególny sposób skupimy się na dwóch rodzajach takich przedstawień. Pierwszy stanowią reprezentacje, w których wszystkie dzielniki pierwsze mianowników należą do pewnego ustalonego zbioru liczb pierwszych \(P\). W szczególności scharakteryzujemy wszystkie trzyelementowe zbiory \(P\), dla których powyższa reprezentacja istnieje. Drugi typ przedstawień, na którym się skupimy, to przedstawienia, w których każdy mianownik jest iloczynem dokładnie dwóch liczb pierwszych, przy czym są to różne liczby pierwsze. Jest to tematyka intensywnie badana. Oprócz znanych rezultatów zaprezentujemy także własne wyniki. Dotyczą one problemu, ile co najmniej elementów przy danej reprezentacji musi zawierać zbiór wszystkich liczb pierwszych dzielących mianowniki.