Wokół funkcjonału Choqueta

Tomasz Józefiak (PŁ)

Całka Choqueta, wprowadzona w 1953 roku, jest ściśle związana z procesami decyzyjnymi oraz wykorzystywana w ekonomii, fizyce oraz szczególnie w matematyce ubezpieczeniowej. Dla (X,ℱ, m), gdzie X ≠ ∅ - przestrzeni z pseudomiarą \(m\) i dla każdej ℱ-mierzalnej funkcji \(f\),
f:X→[0,+∞), definiuje się ją następująco: \[Ch_{m}(f)=\int_{0}^{+\infty} m({ x \in X \mid f(x) \geq t }) dt\] gdzie wyrażenie po prawej stronie oznacza całkę niewłaściwą Riemanna. W referacie przedstawimy inne, uogólnione podejście do zagadnienia, w przypadku działania na dyskretnej przestrzeni mierzalnej (N={1,…,n},2^N). Wówczas otrzymany wzór na obliczenie wartości tej całki posługując się sumą \(n\) wartości pewnej funkcji, której to wartości są z przedziału [0,1], a argumentami są przyrosty i pewne pseudomiary pozycyjne. W efekcie czego dostaniemy zamiast wyjściowej całki – pewien funkcjonał. Następnie przeanalizujemy pewne jego własności.