Różne oblicza twierdzenia spektralnego

Lena Caban (PCz)

Czym jest twierdzenie spektralne? Jest to twierdzenie, a właściwie wspólna nazwa twierdzeń, które mówią o tym że pewne operatory liniowe mogą zostać zdiagonalizowane (tzn. przedstawione w postaci macierzy diagonalnej w pewnej bazie). Twierdzenie spektralne w matematyce ma zatem różne oblicza. Jego historia sięga wieku XVII, w którym to Kartezjusz, wybitny uczony owych czasów, sformułował proste twierdzenie o osiach głównych na płaszczyźnie euklidesowej. W wieku następnym, XVIII, twierdzenie to zostało uogólnione na n-wymiarową przestrzeń rzeczywistą, a poczynili to Leonard Euler i Joseph Louis Lagrange. Pod koniec XIX wieku istniały zaledwie dwie wersje twierdzenia spektralnego: redukcja rzeczywistej symetrycznej formy kwadratowej do postaci normalnej i diagonalizacja rzeczywistej symetrycznej macierzy (Cauchy). Od wieku XX wielu znamiennych matematyków zaczęło formułować twierdzenia spektralne na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach (m.in. Hilbert, Riesz, von Neumann), a jego formy stawały się coraz to bardziej abstrakcyjne. Współcześnie istnieje (bardzo) wiele postaci tego twierdzenia, a o kilku moim zdaniem najciekawszych opowiem w moim referacie.