Zbiory analityczne nie muszą być dziwne

Mateusz Lichman

Na początku XX wieku Henri Lebesgue, wykazując pewną własność funkcji Baire'a, przyjął, pominąwszy dowód, że rzut borelowskiego podzbioru płaszczyzny jest borelowski. Jak się później okazało, tak być nie musi, a pomyłkę dostrzegł Andrei Suslin. Zdefiniował zbiory analityczne jako takie, które są projekcjami zbiorów borelowskich. Wprost z definicji widać, że każdy zbiór borelowski jest analityczny. Suslin wykazał, że nowa klasa jest istotnie szersza, tj. podał przykład zbioru analitycznego, który nie jest borelowski. Przykład ten wydaje się jednak bardzo sztuczny i sprawia, że nasuwa się pytanie: czy ktoś widział zbiór analityczny na oczy? W tym referacie zdefiniujemy takie cudo mając w ręku jedynie podstawowe narzędzia analizy matematycznej. Nieco bardziej precyzyjnych przyrządów opisowej teorii mnogości będziemy potrzebowali do wykazania, że to, cośmy zdefiniowali, jest w istocie rzadkim okazem zbioru analitycznego, a nie pospolitym zbiorem borelowskim.