Własności homologiczne kategorii funktorów ściśle wielomianowych \(\mathcal{P}_p\) stopnia pierwszego \(p\)

Patryk Jaśniewski

Głównym celem referatu będzie przybliżenie pojęcia kategorii funktorów ściśle wielomianowych \(\mathcal{P}\), o których można myśleć jako o endofunktorach kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałem \(k\) o charakterystyce \(p > 0\), które działają na morfizmach wielomianowo. Dobrze znanym faktem, jest to, że pełna podkategoria funktorów ściśle wielomianowych stopnia \(d\) jest równoważna kategorii skończenie generowanych modułów nad algebrą Schura \(S(n,d)\) przy \(n \geq d\), a więc istnieje ścisły związek pomiędzy funktorami ściśle wielomianowymi a reprezentacjami grupy liniowej \(GL_n(k)\) czy grupy symetrycznej \(\Sigma_d\). Podczas referatu skupię się na prezentacji otrzymanych przeze mnie rezultatów dla kategorii \(\mathcal{P}_p\) funktorów ściśle wielomianowych stopnia \(p\). Jest to pierwszy nietrywialny przypadek z punktu widzenia algebry homologicznej -- wiadomo, że dla \(d< p\) kategoria \(\mathcal{P}_d\) jest kategorią półprostą. Mówiąc bardziej szczegółowo, opiszę w sposób jawny strukturę kategorii \(\mathcal{P}_p\) jako kategorii z najwyższymi wagami oraz istotne do obliczeń ciągi dokładne, a także przedstawię postać macierzy rozkładu. W dalszej części będę chciał krótko omówić wykonane przeze mnie addytywne obliczenia Ext pomiędzy funktorami strukturalnymi kategorii \(\mathcal{P}_p\) jako kategorii z najwyższymi wagami. Na koniec przedstawię jawny opis algebry Yonedy funktorów kostandardowych i algebry Yonedy funktorów prostych i z tych opisów wywnioskuję dg formalność algebr endomorfizmów pewnych rezolwent injektywnych indukujących powyższe algebry Yonedy. Przypadek \(d = p\) jest punktem wyjścia do badania przypadków \(d > p\), dlatego też jest tak ważny.