Wielomiany całkowite nierozkładalne globalnie, lecz rozkładalne lokalnie

Patryk Matusiak

Niech f będzie unormowanym wielomianem o współczynnikach całkowitych i załóżmy, że istnieje liczba pierwsza p taka, że f jest nierozkładalny w pierścieniu \(\mathbb{Z}/p[x]\). Wówczas f jest nierozkładalny w \(\mathbb{Z}[x]\). Okazuje się, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe w ogólności, tzn. istnieją nierozkładalne wielomiany całkowite, które są rozkładalne modulo wszystkie liczby pierwsze. Przykładem wielomianu o tej nietypowej własności jest \(x^4+1\), co zostało udowodnione przez Hilberta. Kluczowa jest tu struktura grupy Galois tego wielomianu, dokładniej grupa czwórkowa Kleina, w której to nie istnieje element rzędu równemu stopniowi naszego wielomianu, czyli 4. Podczas referatu omówię dokładniej ten problem, a następnie przedstawię kilka klas wielomianów o powyższej własności.