Numeryczna aproksymacja rozwiązań problemów początkowych z opóźnieniem przy niestandardowych założeniach

Natalia Czyżewska

Mimo tego, że numeryczne metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych ujrzały światło dzienne w XVIII wieku dzięki Eulerowi, to dopiero na początku XXI wieku Bellen oraz Zennaro podjęli się opisu, analizy oraz usystematyzowania wiedzy na temat metod numerycznych dla równań różniczkowych z opóźnieniem (ang. delay differential equations, DDEs).

Literatura dotycząca aproksymacji rozwiązań DDE zakłada zwykle klasyczną regularność funkcji prawej strony w problemie początkowym, to znaczy co najmniej spełnianie globalnego warunku Lipschitza. Okazuje się jednak, że problemy opisujące rzeczywiste zjawiska wymagają osłabienia tych założeń.

W trakcie referatu zarysowana zostanie motywacja do przybliżonego rozwiązywania DDEs przy niestandardowych założeniach o funkcji prawej strony. Przestawiona zostanie metoda Eulera aproksymująca jednowymiarowe DDE, o którym zakłada się, że funkcja prawej strony spełnia lokalny warunek Höldera oraz jest monotoniczna. Następne przedstawione zostanie uogólnienie tego problemu na przypadek wielowymiarowy, w którym zakłada się, że pole wektorowe prawej spełnia m.in. lokalny warunek Höldera oraz jednostronny warunek Lipschitza. Zaprezentowane zostaną wyniki dotyczące oszacowania błędu algorytmu Eulera przy powyższych założeniach. Pokazane zostaną również testy numeryczne potwierdzające uzyskane teoretyczne tempo zbieżności.