Liczba reprodukcyjna w modelach epidemiologicznych, czyli dlaczego nie możemy się teraz spotykać.

Magdalena Szafrańska

W ostatnim roku życie na całym świecie zmieniło się diametralnie. Epidemia Covid-19 opanowała całą kule ziemską. Celem referatu jest przybliżenie epidemiologicznych modeli matematycznych. Zaczynając od wprowadzenia podstawowych definicji związanych z tematem, przejdziemy do pokazania budowy modelu SEIR, który często pokazywany przez media przybliża obecną sytuację w kraju i na świecie. Model jest postaci \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ll} S'= \pi - \mu S - \beta SI , & \textrm{}\\ E'= \beta SI - (\mu - \kappa)E & \textrm{}\\ I'= \kappa E - (\mu - \alpha)I & \textrm{}\\ R'= \alpha I - \mu R & \textrm{}\\ \end{array} \right. \end{gather*}. Składa się z czterech równań różniczkowych, gdzie każde równanie jest różniczkowane po zmiennej niezależnej \(t\), która oznacza czas.

Przeprowadzona zostanie krótka analiza podanego model epidemiologicznego, która pomoże w rozwinięciu dalszej tematyki referatu. Mianowicie zostanie przedstawiony sposób na wyznaczenie współczynnika reprodukcji dla modeli matematycznych złożonych z równań różniczkowych zaproponowany przez dwóch matematyków Pauline van den Driessche i James Watmoutgh w 2002 roku. Po pierwsze zostanie sprawdzone, czy model SEIR spełnia wszystkie założenia potrzebne do skorzystania z zaproponowanej metody.

Kolejnym etapem będzie wyznaczenie liczby \begin{gather*} R_{0}= \frac{\beta \kappa \pi}{\mu(\mu + \kappa)(\mu+\alpha)} \end{gather*} dzięki wyznaczeniu macierzy następnego pokolenia. Podczas tego etapu skorzystamy z takich narzędzi matematycznych jak macierze Jacobiego, odwracalność macierzy czy mnożenie macierzy kwadratowych. Te nietrudne przekształcenia pozwolą na zgłębienie techniki jakim jest analiza epidemiologicznego modelu matematycznego pod kątem rozwoju epidemii i jej dynamiki. Na koniec referatu zostaną przestawione wykresy opracowane w programie Maple, które mają przybliżyć intuicję związaną z wpływem na liczbę \(R_{0}\) współczynników budujących model takich jak prawdopodobieństwo zakażenia lub długość trwania choroby.