Arytmetyczne własności ograniczonej funkcji partycji

Krystian Gajdzica

Niech \(\mathcal{A}=\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}_+}\) będzie ciągiem dodatnich liczb naturalnych. Przez \(p_\mathcal{A}(n,k)\) oznaczmy funkcję zliczającą \(m\)-kolorowe partycje liczby \(n\) o składowych ze zbioru \(\{a_1,\ldots,a_k\}\). Podczas referatu omówimy kilka arytmetycznych własności ciągu \(\left(p_\mathcal{A}(n,k)\pmod{m}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) dla dowolnie ustalonej liczby całkowitej \(m\geq2\), po czym zastosujemy je dla specjalnych przypadków ciągów \(\mathcal{A}\). W szczególności dla ustalonego parametru \(k\) zwrócimy uwagę na ograniczenie górne nieparzystej gęstości \(p_\mathcal{A}(n,k)\) oraz ograniczenie dolne gęstości zbioru \(\{n\in\mathbb{N}:p_\mathcal{A}(n,k)\not\equiv0\pmod{m}\}\). Ponadto, zaprezentujemy kilka nowych rezultatów związanych z ograniczonymi partycjami \(m\)-arnymi i postawimy kilka problemów otwartych.